To prove: ( 1 + sin ⁡ ( A + B ) ) ( 1 − sin ⁡ ( A − B ) ) = ( cos ⁡ A − sin ⁡ B ) 2

Question

To prove:             (        1  +  sin  ⁡  (  A  +  B  )            )                  (        1  −  sin  ⁡  (  A  −  B  )            )        =  (  cos  ⁡  A  −  sin  ⁡  B      )    2

mangoslush27fig · Accepted Answer

LHS         =                            (        1        +        sin        ⁡        (        A        +        B        )        )        (        1        −        sin        ⁡        (        A        −        B        )        )                            =                    1        −        sin        ⁡        (        A        −        B        )        +        sin        ⁡        (        A        +        B        )        −        sin        ⁡        (        A        +        B        )        sin        ⁡        (        A        −        B        )                            =                    1        −        sin        ⁡        A        cos        ⁡        B        +        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        +        sin        ⁡        A        cos        ⁡        B        +        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        −        sin        ⁡        (        A        +        B        )        sin        ⁡        (        A        −        B        )                            =                    1        +        2        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        −        sin        ⁡        (        A        +        B        )        sin        ⁡        (        A        −        B        )                            =                    1        +        2        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        −                  1          2                (        c        o        s        (        A        +        B        −        A        +        B        )        −        c        o        s        (        A        +        B        +        A        −        B        )        )                            =                    1        +        2        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        −                  1          2                (        c        o        s        (        2        B        )        −        c        o        s        (        2        A        )        )                            =                    1        +        2        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        −                  1          2                [        (        1        −        2                  sin                      2                          ⁡        B        )        −        (        2                  cos                      2                          ⁡        A        −        1        )        ]                            =                    1        +        2        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        −                  1          2                (        1        −        2                  sin                      2                          ⁡        B        )        +                  1          2                (        2                  cos                      2                          ⁡        A        −        1        )                            =                    2        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        +                  sin                      2                          ⁡        B        +                  cos                      2                          ⁡        A                            =                              cos                      2                          ⁡        A        −        2        cos        ⁡        A        sin        ⁡        B        +                  sin                      2                          ⁡        B                            =                            (        cos        ⁡        A        +        sin        ⁡        B                  )                      2

To prove: (1+sin(A+B))(1−sin(A−B))=(cos A−sin B)^2

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