opepayflarpws

Answered

2022-06-24

Find all z such that $|\mathrm{tan}z|=1$

Answer & Explanation

Jaylee Dodson

Expert

2022-06-25Added 22 answers

$\mathrm{tan}z=\frac{\mathrm{sin}z}{\mathrm{cos}z}=\frac{{e}^{iz}-{e}^{-iz}}{i({e}^{iz}+{e}^{-iz})}$

So

$|\mathrm{tan}z|=\left|\frac{{e}^{iz}-{e}^{-iz}}{{e}^{iz}+{e}^{-iz}}\right|=1$

$\Rightarrow |{e}^{iz}+{e}^{-iz}|=|{e}^{iz}-{e}^{-iz}|$

$\Rightarrow |{e}^{2iz}+1{|}^{2}=|{e}^{2iz}-1{|}^{2}$

$\Rightarrow ({e}^{2iz}+1)\overline{({e}^{2iz}+1)}=({e}^{2iz}-1)\overline{({e}^{2iz}-1)}$¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

$\Rightarrow ({e}^{2iz}+1)({e}^{-2iz}+1)=({e}^{2iz}-1)({e}^{-2iz}-1)$

$\Rightarrow 1+{e}^{2iz}+{e}^{-2iz}+1=1-{e}^{2iz}-{e}^{-2iz}+1$

$\Rightarrow {e}^{2iz}+{e}^{-2iz}=0$

$\Rightarrow \mathrm{cos}(2z)+i\mathrm{sin}(2z)+\mathrm{cos}(2z)-i\mathrm{sin}(2z)=0$

$\Rightarrow \mathrm{cos}(2z)=0$

So

$2z=n\pi +\frac{\pi}{2}$

So

$|\mathrm{tan}z|=\left|\frac{{e}^{iz}-{e}^{-iz}}{{e}^{iz}+{e}^{-iz}}\right|=1$

$\Rightarrow |{e}^{iz}+{e}^{-iz}|=|{e}^{iz}-{e}^{-iz}|$

$\Rightarrow |{e}^{2iz}+1{|}^{2}=|{e}^{2iz}-1{|}^{2}$

$\Rightarrow ({e}^{2iz}+1)\overline{({e}^{2iz}+1)}=({e}^{2iz}-1)\overline{({e}^{2iz}-1)}$¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

$\Rightarrow ({e}^{2iz}+1)({e}^{-2iz}+1)=({e}^{2iz}-1)({e}^{-2iz}-1)$

$\Rightarrow 1+{e}^{2iz}+{e}^{-2iz}+1=1-{e}^{2iz}-{e}^{-2iz}+1$

$\Rightarrow {e}^{2iz}+{e}^{-2iz}=0$

$\Rightarrow \mathrm{cos}(2z)+i\mathrm{sin}(2z)+\mathrm{cos}(2z)-i\mathrm{sin}(2z)=0$

$\Rightarrow \mathrm{cos}(2z)=0$

So

$2z=n\pi +\frac{\pi}{2}$

Most Popular Questions