About ∫ 0 π / 2 arctan ⁡ ( 1 − sin 2 ⁡ ( x ) cos 2 ⁡ ( x ) ) d x = π ( π 4 − arctan ⁡ 2 − 1 2 )

Question

About       ∫    0          π              /            2        arctan  ⁡  (  1  −      sin    2    ⁡  (  x  )      cos    2    ⁡  (  x  )  )  d  x  =  π      (          π      4        −    arctan    ⁡                                        2                    −          1                2              )

Sauppypefpg · Accepted Answer

∫          0                      π                          /                        2                          arctan        ⁡                  (          1          −                      cos            2                    ⁡          x                      sin            2                    ⁡          x          )                        d        x                            =                  ∫          0                      π                          /                        2                                    (                      π            2                    −          arctan          ⁡                      (                          1                              1                −                                  sin                  2                                ⁡                x                                  cos                  2                                ⁡                x                                      )                    )                        d        x                                          =                              π            2                    4                −                  ∫          0                      π                          /                        2                          arctan        ⁡        (                  sin          2                ⁡        x        )                d        x        −                  ∫          0                      π                          /                        2                          arctan        ⁡        (                  cos          2                ⁡        x        )                d        x                                          =                              π            2                    4                −        2                  ∫          0                      π                          /                        2                          arctan        ⁡        (                  cos          2                ⁡        x        )                d        x            Consider  I  (  a  )  =      ∫    0          π              /            2        arctan  ⁡  (  a        cos    2    ⁡  x  )    d  x                    ⇒                  I          ′                (        a        )                            =                  ∫          0                      π                          /                        2                                                              cos              2                        ⁡            x                                1            +                          a              2                                      cos              4                        ⁡            x                                  d        x                                          =                  ∫          0                      π                          /                        2                                                              sec              2                        ⁡            x                                              sec              4                        ⁡            x            +                          a              2                                              d        x                                          =                  ∫          0                      π                          /                        2                                                              sec              2                        ⁡            x                                (            1            +                          tan              2                        ⁡            x                          )              2                        +                          a              2                                              d        x                                          =                  ∫          0                      ∞                                                d            t                                              t              4                        +            2                          t              2                        +                          a              2                        +            1                                                                                  (        tan        ⁡        x        =        t        )            With the substitution   t  ↦                              a          2                +        1            t            I    ′    (  a  )  =      1                  a        2            +      1            ∫    0          ∞                  t      2                      t        4            +      2              t        2            +              a        2            +      1          d  t                    ⇒                  I          ′                (        a        )                            =                  1                      2                                          a                2                            +              1                                                ∫          0                      ∞                                                                              a                2                            +              1                        +                          t              2                                                          t              4                        +            2                          t              2                        +                          a              2                        +            1                                  d        t                                          =                  1                      2                                          a                2                            +              1                                                ∫          0                      ∞                                                1            +                                          1                +                                  a                  2                                                            t                2                                                                                        (                t                −                                                                            a                      2                                        +                    1                                    t                                )                            2                        +            2            (            1            +                                          a                2                            +              1                        )                                  d        t                                          =                  1                      2                                          a                2                            +              1                                                ∫                      −            ∞                                ∞                                                d            y                                              y              2                        +            2            (            1            +                                          a                2                            +              1                        )                                                                                            (          t          −                                                    a                2                            +              1                        t                    =          y          )                                                  =                  π                      2                          2                                                1                                    1              +                              a                2                                                    1              +                                                a                  2                                +                1                                                        Integrating back,                    I        (        1        )        −        I        (        0        )        =        I        (        1        )                            =                  π                      2                          2                                                ∫          0          1                                      d            a                                              1              +                              a                2                                                    1              +                                                a                  2                                +                1                                                                                      =                  π                      2                          2                                                ∫          1                                    2                                                            d            t                                              t              −              1                        (            t            +            1            )                                                                                  (                              a            2                    +          1                =        t        )                                          =                  π                      2                                    ∫          0                                                    2                            −              1                                                            d            u                                              u              2                        +            2                                                                                  (        t        −        1        =                  u          2                )                                          =                  π          2                                      (            arctan            ⁡                          u                              2                                      |                    0                                                    2                            −              1                                                                        =                  π          2                arctan        ⁡                  (                                                                      2                                −                1                            2                                )                    Hence,                                                        ∫              0                              π                                  /                                2                                      arctan            ⁡                          (              1              −                              cos                2                            ⁡              x                              sin                2                            ⁡              x              )                                    d            x            =                                                            π                  2                                4                                      −            π            arctan            ⁡                          (                                                                                                                  2                                            −                      1                                        2                                                              )

About int_0^(pi/2) arctan(1-sin^2(x)cos^2(x))dx=pi(pi/4-arctan sqrt(sqrt((2)-1)/2)))

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