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2022-07-12

Evaluate $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}$

sniokd

Expert

$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)+\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\left(\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}+\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)\left(1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}\right)\end{array}$
Then, by mean value theorem, there is $c\in \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ such that
$\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}={\mathrm{sec}}^{2}c$
and between $\mathrm{sin}x$ and $\mathrm{tan}x$. Then $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}=1$. Next, we will show that $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)\left(1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}=1$
$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)\left(1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)\left(1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)\right)\mathrm{cos}x}{\mathrm{sin}x\left(1-\mathrm{cos}x\right)}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{sin}x}\cdot \frac{1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)}{{\mathrm{sin}}^{2}x}\cdot \frac{{\mathrm{sin}}^{2}x}{1-\mathrm{cos}x}\cdot \mathrm{cos}x\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{sin}x}\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)}{{\mathrm{sin}}^{2}x}\underset{x\to 0}{lim}\left(1+\mathrm{cos}x\right)\underset{x\to 0}{lim}\mathrm{cos}x\\ & =1\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\\ & =1.\end{array}$
Therefore,
$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{sin}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{tan}x\right)-\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{tan}\left(\mathrm{sin}x\right)\left(1-\mathrm{cos}\left(\mathrm{sin}x\right)\right)}{\mathrm{tan}x-\mathrm{sin}x}\\ & =1+1\\ & =2\end{array}$

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