Solve the system of equations: { ( x − 1 ) x − y 2 = y ( x − 2 y + 1 ) y x − 1 + 3 x − y 2 = 2 x + y − 1 This is my tryCondition: x ≥ 1 ; x ≥ y 2 We have: x − 2 y + 1 ≥ x − 2 | y | + 1 ≥ x − ( y 2 + 1 ) + 1 = x − y 2 ≥ 0 ⇒ y ≥ 0Applying AM-GM inequality, we have: 2 ( 2 x + y − 1 ) = 2 y x − 1 + 6 x − y 2 ≤ ( y 2 + x − 1 ) + 3 ( 1 + x − y 2 ) = 4 x − 2 y 2 + 2 ⇒ y 2 + y − 2 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ y ≤ 1Squaring both side of first equation, we get: ( x − 2 y 2 + 2 y − 1 ) ( x 2 − x + 2 y 2 − 2 x y ) = 0If x − 2 y 2 + 2 y − 1 = 0, we get 1 2 ≤ x ≤ 1. Thus, we get x = 1 and y = 0 or y = 1. Two pairs of ( x , y ) don't satisfy the system of equations.If x 2 − x + 2 y 2 − 2 x y = 0...

Question

Solve the system of equations:      {                            (          x          −          1          )                      x            −                          y              2                                =          y          (          x          −          2          y          +          1          )                                      y                      x            −            1                    +          3                      x            −                          y              2                                =          2          x          +          y          −          1                        This is my tryCondition:   x  ≥  1  ;  x  ≥      y    2  We have:  x  −  2  y  +  1  ≥  x  −  2  |  y  |  +  1  ≥  x  −  (      y    2    +  1  )  +  1  =  x  −      y    2    ≥  0  ⇒  y  ≥  0Applying AM-GM inequality, we have:  2  (  2  x  +  y  −  1  )  =  2  y      x    −    1    +  6      x    −          y      2        ≤  (      y    2    +  x  −  1  )  +  3  (  1  +  x  −      y    2    )  =  4  x  −  2      y    2    +  2  ⇒      y    2    +  y  −  2  ≤  0  ⇒  0  ≤  y  ≤  1Squaring both side of first equation, we get:  (  x  −  2      y    2    +  2  y  −  1  )  (      x    2    −  x  +  2      y    2    −  2  x  y  )  =  0If   x  −  2      y    2    +  2  y  −  1  =  0, we get             1      2        ≤  x  ≤  1. Thus, we get   x  =  1 and   y  =  0 or   y  =  1. Two pairs of   (  x  ,  y  ) don&#039;t satisfy the system of equations.If       x    2    −  x  +  2      y    2    −  2  x  y  =  0...

owerswogsnz · Accepted Answer

since you have      x    2    −  x  +  2      y    2    −  2  x  y  =  0  ⟹  x  −      y    2    =      x    2    −  2  x  y  +      y    2    =  (  x  −  y      )    2  Note   x  &amp;gt;  y,so have      x    −          y      2        =  x  −  ytake the second equation we have  y      x    −    1    +  3  (  x  −  y  )  =  2  x  +  y  −  1so we have  y  =                    x        +        1                    4        −                  x          −          1                      ∈  [  0  ,  1  ]  ⟹  1  ≤  x  ≤  2take      x    2    −  x  +  2      y    2    −  2  x  y  =  0  ⟹      x    2    −  x  +  2            (                                    x            +            1                                4            −                          x              −              1                                          )        2    −  2  x                    x        +        1                    4        −                  x          −          1                      =  0  ,  1  ≤  x  ≤  2  ⟹                              x          3                −        6                  x          −          1                          x          2                +        8                  x          2                +        10                  x          −          1                x        −        19        x        +        2                    (                  x          −          1                −        4                  )          2                      =  0take       x    −    1    =  t,then we have  ⟹  (      t    2    +  1      )    3    −  6  t  (      t    2    +  1      )    2    +  8  (      t    2    +  1      )    2    +  10  t  (      t    2    +  1  )  −  19  (      t    2    +  1  )  +  2  =  0  ⟹  (  t  −  1  )  (      t    5    −  5      t    4    +  6      t    3    +  4      t    2    +  4  t  +  8  )  =  0  ,  0  ≤  t  ≤  1since  f  (  t  )  =      t    5    −  5      t    4    +  6      t    3    +  4      t    2    +  4  t  +  8  =      t    5    +  6      t    3    +  4      t    2    +  4  t  +  (  8  −  5      t    4    )  &amp;gt;  0  ,  0  ≤  t  ≤  1so   t  =  1 then you have   x  =  2

Solve the system of equations: { <mtable columnalign="left" rowspacing="4pt" columns

Answered question

Answer & Explanation

New Questions in Algebra I