Suppose f(x) is such that ∫ − ∞ ∞ e t x f ( x ) d x = arcsin ⁡ ( t − 1 2 )

Question

Suppose f(x) is such that      ∫          −      ∞        ∞        e          t      x        f  (  x  )  d  x  =  arcsin  ⁡  (  t  −            1      2        )

Laci Conrad · Accepted Answer

To clarify:      d          d      t            ∫          −      ∞              ∞            e          t      x        f  (  x  )  d  x  =      ∫          −      ∞              ∞            ∂          ∂      t            e          t      x        f  (  x  )  d  x  =      ∫          −      ∞              ∞        x      e          t      x        f  (  x  )  d  xand so      d          d      t            ∫          −      ∞              ∞            e          t      x        f  (  x  )  d  x            |              t      =      0        =      ∫          −      ∞              ∞        x  f  (  x  )  d  x  .On the other hand,      d          d      t            ∫          −      ∞              ∞            e          t      x        f  (  x  )  d  x  =      d          d      t        arcsin  ⁡  (  t  −      1          /        2    )  =  (  −      t    2    +  t      2    +      1    2        )          −      1              /            2      and plugging in t=0 in the latter gives you       2

Suppose f(x) is such that int_(-infty)^(infty) e^(tx)f(x)dx= arcsin(t-sqrt(1/2))

Answered question

Answer & Explanation

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