\(\text{Given integral}\)

\(\int_0^2\int_0^1 4xy\ dx\ dy\)

\(=\int_0^2 4[xdx]ydy\)

\(=\int_0^2 4\frac{x^2}{2}ydy\)

\(=\int_0^2 2[x^2]_0^1 ydy\)

\(=\int_0^2 2[1^2-0^2]ydy\)

\(=\int_0^2 2ydy\)

\(=2[\frac{y^2}{2}]_0^2\)

\(=[y^2]_0^2\)

\(=2^2-0^2\)

\(=4\)

\(\text{Therefore, the result of}\int_0^2\int_0^1 4xy\ dx\ dy\ is\ 4.\)

\(\int_0^2\int_0^1 4xy\ dx\ dy\)

\(=\int_0^2 4[xdx]ydy\)

\(=\int_0^2 4\frac{x^2}{2}ydy\)

\(=\int_0^2 2[x^2]_0^1 ydy\)

\(=\int_0^2 2[1^2-0^2]ydy\)

\(=\int_0^2 2ydy\)

\(=2[\frac{y^2}{2}]_0^2\)

\(=[y^2]_0^2\)

\(=2^2-0^2\)

\(=4\)

\(\text{Therefore, the result of}\int_0^2\int_0^1 4xy\ dx\ dy\ is\ 4.\)